x属于实数时，不等式 (3X^2+2x+2)/(x^2+x+1)>k 恒成立，求k的取值范围

(3X^2+2x+2)/(x^2+x+1)
=3-(x+1)/(x^2+x+1)
令y=(x+1)/(x^2+x+1)
yx^2+(y-1)x+y-1=0
判别>=0
(y-1)^2-4y(y-1)>=0
(y-1)(3y+1)<=0
-1/3<=y<=1
2<=(3X^2+2x+2)/(x^2+x+1)<=10/3
所以：
k的取值范围k<2

(3X^2+2x+2)/(x^2+x+1)

=3-(x+1)/(x^2+x+1)

设(x+1)/(x^2+x+1)=s

sx^2+(s-1)x+s-1=0

判别式=(s-1)^2-4s(s-1)=-3s^2+2s+1=(1-s)(1+3s)>=0

-1/3<=s<=1

所以s最大为1

(3X^2+2x+2)/(x^2+x+1)

=3-(x+1)/(x^2+x+1)

=3-s

3-1<=3-s<=3+1/3

所以k<3-1=2

因此k的取值范围是k<2

可以知道
x^2+x+1
=(x+1/2)^2+3/4
>0
(3X^2+2x+2)/(x^2+x+1)>k
->(3X^2+2x+2)>k*(x^2+x+1)
->(3-k)x^2+(2-k)x+2-k>0
要此式恒成立，只要求
（3-k）>0
k<3

(2-k)-4(2-k)^2/(3-k)>0
(2-k)(3-k)-4(2-k)^2>0
(2-k)[(3-k)-4(2-k)]>0
(2-k)(3k-5)>0
(k-2)(3k-5)